Lösungsmenge bestimmen/berechnen?

z³ = 1/8

z kann man auch so schreiben: |z| * e^(i*φ)

(|z| * e^(i*φ))³ = 1/8

|z|³ * (e^(i*φ))³ = 1/8

Daraus folgt

|z| = 1/2 und (e^(i*φ))³ = 1

Lösung:

φ*3 = 2*π*k für k=0,1,... --> φ = 2/3*π*k

φ1 = 0 für k = 0

φ2 = 2/3*π für k = 1

φ3 = 4/3*π für k = 2

φ4 = 6/3*π für k = 3

Die erste und die letzte Lösung fallen zusammen (und weitere sind periodisch), deshalb gibt es drei Lösungen

z = 1/2 * (cos(0) + i*sin(0))

z = 1/2 * (cos(2/3*π) + i*sin(2/3*π))

z = 1/2 * (cos(4/3*π) + i*sin(4/3*π))

Eigentlich musst Du den Ansatz aus dem Skript nur abschreiben:



Damit sind die Lösungen für k=0,1,2:

(Die letzten beiden Lösungen kann man noch ausmultiplizieren. Das überlasse ich Dir)

Hier ist ja n = 3.

e^(i * pi/3 * 0) = e^(0), weil irgendwas mal 0 wieder 0 ergibt, auch im Komplexen.

Aber hier ist der Betrag bzw. Radius des Grundwertes nicht 1, also brauchen wir hier die komplette Polardarstellung komplexer Zahlen:

z = r * e^(i phi)

r = |z|; phi = arg(z)

(Betrag und "Argument" der komplexen Zahl)

Darauf können wir die Potenzgesetze anwenden (die gelten im Komplexen ebenso wie im Reellen - wenn auch mit erweiterter Anwendbarkeit):

z^n = r^n * (e^(i phi))^n

Der erste Faktor ist eine positive reelle Zahl und kann wie im reellen Fall behandelt werden.

Der zweite Faktor ist eine Zahl auf dem Einheitskreis und kann wie im Beispiel aus der Vorlesung behandelt werden.