Zusammenhang Skalarprodukt und Winkel?

Hallo liebe Matheexperten,

ich beschäftige mich derzeit mit der Herleitung der Winkelbestimmung für zwei Vektoren. Dabei haben wir diese Herleitung bekommen:

Jetzt frage ich mich, warum die Umformung der beiden blauen Gleichungen so gilt. Warum ist also das Skalarprodukt von zwei Vektoren gleich mit dem Produkt der Beträge der Vektoren, wenn diese parallel und gleich gerichtet sind?

Leider haben wir auch keine wirkliche Defintion für das Skalarprodukt bekommen und es stattdessen vielmehr als „Mittel zum Zweck“ für die Bestimmung einer möglichen Orthogonalität gesehen.

Dieses Video bezeichnet das Skalaprodukt als „Produkt eines projezierten Vektors B auf einen Vektor V mit dem Vektor V“ (https://youtu.be/LyGKycYT2v0?si=pdMU_K0nO6LqqqfE, 1:43 min)

Würde das dann im Umkehrschluss bedeuten, dass sich der Betrag der Projektion des Vektors B auf den Vektor V dem tatsächlichen Betrag des Vektors B annähert, wenn der Winkel zwischen dem Vektor B und dem Vektor V gegen null läuft?

Wäre das dann auch die Erklärung dafür, dass die Vektoren B und V parallel und richtungsgleich sein müssen, damit die blau unterstrichene Gleichung so gilt?

Ich habe versucht, diese „Regel“ selbst mit Beispielen zu beweisen, bin aber leider erfolglos…

LG

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Mathe LK trotz drei?

Hallo,

bei mir stehen demnächst die Wahlen für die Kursstufe an und ich muss mich für meine Leistungskurse entscheiden. Am meisten hadere ich im Moment bei dem Fach Mathe, da ich dort im Moment auf einer drei stehe. Ich habe jetzt aber auch nie wirklich früher als ein Tag vorher angefangen und die Hausaufgaben auch eher selten gemacht. Beides will ich in der Oberstufe auf jeden Fall ändern. Problem nur, dass das bei denen, die auf einer Eins stehen, nicht anders ist und diese teilweise noch weniger machen. (Haben aber auch größtenteils, von denen ich das weiß, einen andern Lehrer / eine andere Lehrerin mit logischerweise dann auch anderen Klassenarbeit/ Klausuren / Prüfungen. Sind jedoch alle auf der selben Schule in der selben Stufe.) Ich weiß, dass ich irgendwann zwischen der sechsten und siebten Klasse mal einen IQ-Test gemacht habe und dort 120 raus kam(, was sich ja anscheinend aber auch nochmal stark ändern kann). Auch war ich in dem Zahlen-Gebiet soweit ich mich richtig erinnern kann / erinnere auf der ersten Stufe der überdurchschnittlichen Begabung. Bei meiner letzten Lehrerin stand ich auch immer auf einer Zwei. Mein jetziger Lehrer hat auch den Ruf, mit die schwersten Mathearbeiten zu machen und hat teilweise relativ schlechte Abi-Kurse. Er meinte übrigens, dass ich den LK schaffen könnte, nur nicht einfach so 14 oder 15 Punkte erwarten soll. Ich glaube, dass das aber eher so gemeint war, dass es schon machbar wäre, wenn ich nur genug / viel lernen würde. Ich rede übrigens von dem Abitur-System in Baden-Württemberg und das wird jetzt mein erstes Mal eine Drei in Mathe seit der siebten oder achten Klasse glaube ich(, aber eigentlich habe ich keine Ahnung).

Was meint Ihr und habt Ihr Erfahrungen, von den ihr berichten könnt? Schreibt bitte auch immer das Bundesland von dem ihr redet dazu und erklärt gerne auch den Unterschied von diesem zu dem System in Baden-Württemberg, wenn ihr wollt und könnt / diesen (überhaupt) wisst.

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