Urlaubsanspruch bei Kündigung zum 15.?

Zur Kündigungsfrist:

Darf der Arbeitgeber zum 15. kündigen bei der Dauer meiner Betriebszugehörigkeit?

Ja.

Es gibt einen allgemeinverbindlichen Rahmentarifvertrag, der in § 19 "Kündigung" Abs. 1 bis zum Ende des 5. Beschäftigungsjahres eine Kündigungsfrist von 2 Wochen vorsieht. Erst ab dem vollendeten 5. Beschäftigungsjahr beträgt die Kündigungsfrist 1 Monat zum Ende eines Kalendermonats und verlängert sich je nach Beschäftigungsdauer stufenweise (Abs. 2):

1.Das Arbeitsverhältnis kann beiderseitig unter Einhaltung einer Frist von 2 Wochen gekündigt werden.

2.Für eine Kündigung durch den Arbeitgeber beträgt die Kündigungsfrist, wenn das Arbeitsverhältnis in dem Betrieb oder Unternehmen

fünf Jahre bestanden hat, einen Monat zum Ende eines Kalendermonats, [...].

Zum Urlaubsanspruch:

Aber habe ich nicht noch einen Teilanspruch für Januar weil ich noch bis zum 15.01 beschäftigt bin? Oder zählen in diesem Fall halbe Monate nicht?

Nein.

Für den halben Monat Januar besteht kein Urlaubsanspruch. Die gesetzliche Bestimmung des Bundesurlaubsgesetzes BUrlG § 5 "Teilurlaub" Abs. 1 Buchstabe a) sieht einen Urlaubsanspruch nur für volle Monate des Beschäftigungsverhältnisses vor:

Anspruch auf ein Zwölftel des Jahresurlaubs für jeden vollen Monat des Bestehens des Arbeitsverhältnisses hat der Arbeitnehmer

a)für Zeiten eines Kalenderjahrs, für die er wegen Nichterfüllung der Wartezeit in diesem Kalenderjahr keinen vollen Urlaubsanspruch erwirbt; [...].

Da sagt auch der Tarifvertrag nichts Anderes.

Wenn Du für 2021 Deinen vollen Urlaub in Höhe von 30 Arbeitstagen (basierend auf einer 5-Tage-Woche) erhalten hast, dann verhält sich Dein Arbeitgeber bezüglich Deines Urlaubsanspruchs korrekt - ebenso bei der Kündigungsfrist.