Marktaufteilung mittels Übergangsmatrix berechnen?

Ich vermute, dass die Aufgabe so nicht vollstaendig ist... Ich rate jetzt mal ins Blaue, woran Du interessiert bist:

Die Problemstellung: Es gibt zwei Produkte P und Q. Den Anteil aller Konsumenten, die Produkt P kaufen, bezeichne ich mit p. Den Anteil aller Konsumenten, die stattdessen Produkt Q kaufen, bezeichne ich mit q. Die Anteile p und q liegen logischerweise zwischen 0 und 1 und es gilt p+q = 1.

Jetzt betrachtet ein schlauer Manager Umsaetze und Umfragen und macht folgende Beobachtung: 10% der Kaeufer von Produkt P wechseln im naechsten Jahr zum Produkt Q, waehrend 30% der Kaeufer von Produkt Q zum Produkt P wechseln. Wie veraendern sich dadurch die Marktanteile? Schreiben wir es mal hin:

neues p  =  9/10 p + 3/10 q    (90% bleiben, 30% von q wechseln zu p)
neues q  =  1/10 p + 7/10 q    (70% bleiben, 10% von p wechseln zu q)

Wie die Matrix ins Spiel kommt: Ich nehme an, dass Du Dich mit Matrizen (und Inversen) und Matrix-Vektor-Multiplikation auskennst (ansonsten: mach Dich darueber kurz schlau - ohne das kommst Du bei dieser Aufgabe nicht weiter).

Die beiden Gleichungen von oben kann man nun in Matrix-Schreibweise formulieren:

(neues p; neues q) = (9/10, 3/10; 1/10, 7/10) * (p; q)

Hierbei verwende ich "," als Trenner zwischen Spalten und ";" als Trenner zwischen Zeilen. Erkennst Du Deine Uebergangsmatrix wieder? Diese nenne ich M. Also: Wenn man eine Marktaufteilung (p; q) in einem Jahr hat, erhaelt man durch Multiplikation mit der Uebergangsmatrix M die Marktaufteilung ein Jahr spaeter.

Ein Beispiel: Es gebe insgesamt 1440 Kunden, davon kaufen 480 Produkt P und die anderen 960 kaufen Q. Also p = 480/1440 = 1/3 und q = 960/1440 = 2/3. Im naechsten Jahr gilt:

(neues p; neues q) = M * (1/3; 2/3) = (1/2; 1/2)

Bekommst Du dasselbe Ergebnis? Es ist vielleicht fancy aufgeschrieben, aber es steckt genau das dahinter, was ich oben beschrieben habe bzw. was der Manager beobachtet hat ;) 10% der 480 P-Kunden (d.h. 48) wechseln zu Q. 30% der 960 Q-Kunden (d.h. 288) wechseln zu P. Also gibt es im naechsten Jahr 480-48+288 = 720 P-Kunden und 960-288+48 = 720 Q-Kunden. Das ist jeweils die Haelfte aller Kunden - also genau das, was oben auch rauskommt.

Wir wissen jetzt, wie die Verteilung im naechsten Jahr sein wird. Wie koennen wir rausfinden, wie sie im Vorjahr aussah? Wir muessen folgende Gleichung loesen:

(1/3; 2/3) = M * (altes p; altes q)

Dazu bemuehen wir etwas lineare Algebra und multiplizieren beide Seiten der Gleichung von links mit der inversen Matrix M^-1 = (7/6, -1/2; -1/6, 3/2) und erhalten:

(altes p; altes q) = M^-1 * (1/3; 2/3) = (1/18; 17/18)

Kannst Du auch das nachvollziehen? Zur Probe: Rechne vorwaerts! Starte mit der Marktaufteilung (1/18; 17/18), d.h. mit nur 80 P-Kunden und 1360 Q-Kunden. Du wirst wieder die Marktaufteilung von heute erhalten, d.h. (1/3; 2/3).

Zur Original-Frage: In Deiner Frage gibt es keinen "Startwert", d.h. es ist nicht gegeben, wie die Marktanteile heute aussehen. Daher kannst Du nicht berechnen, wie sie vor einem Jahr aussahen oder wie sie in einem Jahr aussehen werden. Du brauchst diesen Startwert - im Beispiel oben habe ich mir daher einfach einen ausgedacht.

Worauf es hinauslaeuft: Es ist normalerweise nicht soooo interessant, die Anteile im naechsten oder im vorigen Jahr zu bestimmen. Man fragt sich meistens, wie sich die Marktanteile auf lange Sicht entwickeln, d.h. wenn man immer wieder und wieder mit M multipliziert. Nach 10 Jahren haetten wir in obigem Beispiel:

M * M * M * M * M * M * M * M * M * M * (1/3; 2/3) = (0.747; 0.253)

In der Tat kann man nachrechnen, dass auf lange Sicht 75% der Kunden Produkt P und die anderen 25% Produkt Q kaufen. Das ist bei dieser Uebergangsmatrix sogar voellig unabhaengig vom Startwert so! Probier's doch mal fuer einen anderen aus ;) Um das aber zu beweisen, benoetigt man etwas mehr lineare Algebra... Wenn es Dich interessiert, kannst Du ja nochmal nachfragen. Da fuer diese Matrix alles so schoen "aufgeht", hatte derjenige, der Dir die Frage gestellt hat, vermutlich auch diese Anwendung im Sinn...